Eratóstenes e a circunferência da Terra

Eratóstenes viveu em Alexandria algumas décadas depois de Euclides, foi diretor da Biblioteca e do Museu. Era também excelente poeta, crítico literário, geógrafo, atleta e matemático. Certa vez, ao ler um papiro da Biblioteca, encontrou a informação de que na cidade de Siena, no vale do Nilo, cerca de 800 Km ao sul de Alexandria, ao meio dia do solstício de verão ( o dia mais longo do ano, no hemisfério norte - 21 de junho) , colunas verticais não projetavam qualquer sombra, ou seja, o Sol situava-se a prumo. Desconhece-se quem teria sido o autor dessa observação. Eratóstenes resolveu verificar o que acontecia nesse dia, o solstício de verão, em Alexandria ao meio dia e para sua surpresa, em Alexandria as colunas projetavam sombras suficientemente grandes para que não houvesse dúvidas de que as coisas se comportavam de forma distinta em Siena.

Por que, no mesmo dia e hora, em localidades diferentes, as sombras eram diferentes? Há quase 23 séculos, Eratóstenes deu a resposta correta: porque a terra é redonda. Fosse ela plana as sombras seriam iguais.



Exagerando o tamanho das colunas em relação ao tamanho da Terra, consegue-se ver o que acontece ( como o Sol está muito distante, seus raios podem ser considerados paralelos)

É facil ver que o ângulo que o raio do Sol faz com a vertical em Alexandria é exatamente o ângulo, sobre um círculo máximo da terra, entre Alexandria e Siena. Pela projeção da sombra, Eratóstenes não teve dificuldades em calcular o ângulo, que era aproximadamente 7º, ou seja, 1/50 de 360º. Portanto, a circunferência da Terra deveria ser mais ou menos 50 vezes a distância entre Alexandria e Siena. Conta a tradição que Eratóstenes mandou um de seus escravos para que, a pé, medisse aquela distância, que multiplicada por 50 resultou aos 40.000 Km, hoje conhecidos, com um erro de apenas 10%.



De qualquer forma, ainda há controvérsias quanto à margem de erro dos cálculos de Erastótenes, uma vez que existem versões diferentes sobre quanto vale em metros a unidade grega de medida que ele usou, os chamados “estádios”.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

http://www.grupoescolar.com/materia/eratostenes_calcula_a_circunferencia_da_terra.html

http://www.mecatronicaatual.com.br/secoes/leitura/630

Hiparco e o cálculo da distância terra-lua

Sabe-se que Hiparco nasceu em 190 a. C, na cidade de Nicea, hoje Iznik, cidade situada a   noroeste da Turquia. Tendo falecido em 120 a. C, provavelmente em Rhodes, na Grécia. A mais importante informação sobre Hiparco vem do trabalho de Ptolomeu chamado     Almajesto. As principais contribuições de Hiparco foram:

A tabela de cordas. Uma das primeiras contribuições para a trigonometria; A finalidade desta tabela de cordas era fornecer um método para resolver os triângulos que evitaram resolver cada triângulo dos primeiros princípios. Segundo o historiador Heath, Hiparco foi a primeira pessoa que temos evidência documentada de ter usado sistematicamente a trigonometria".

Hiparco calculou o tamanho do ano dentro de 6,5 minutos e descobriu o precession dos equinócios. O valor de 46" encontrado por Hiparco para o precession anual é muito bom, comparado com o valor atual de 50,26" e muito melhor do que o valor de 36" que Ptolomeu obteve quase 300 anos mais tarde. Criou um catálogo de estrelas que continha aproximadamente 850 estrelas. Este catálogo, terminado provavelmente em 129 AC, foi usado por Ptolomeu como base para seu próprio catálogo. O único trabalho escrito de Hiparco que sobreviveu foi o Comentário sobre Aratus e Eudóxio, composto de 03 livros.

 

Valendo-se de dados coletados antes por outros sábios e também fazendo suas próprias observações, Hiparco provavelmente observou um eclipse solar ocorrido entre 130 a.C. Esse eclipse foi visto como total em Helenópolis, na região do Helesponto (estreito de       Dardanelos), e como parcial, com cerca de 4/5 do disco solar encoberto, em Alexandria.

A partir de observações e medidas realizadas nas duas cidades (cujas latitudes eram conhecidas), Hiparco pôde calcular a paralaxe da Lua (a diferença angular nas posições da Lua no céu) e sua distância à Terra.

Hiparco pôde calcular a distância da Lua à Terra usando trigonometria elementar. Conhecendo a distância d (em função do raio Rt da Terra), entre Helenópolis (no Helesponto) e Alexandria, e estimando o valor do ângulo a durante o eclipse solar, Hiparco pode calcular a distância Dl da Lua. Na pior das hipóteses, mesmo sem conhecimentos de trigonometria, seria possível estimar a distância da Lua simplesmente fazendo um desenho esquemático, em escala, e medindo nele a distância.

Hiparco ainda utilizou outro método engenhoso, provavelmente idealizado por Aristarco de   Samos, para medir a distância da Terra à Lua. Nesse método, em vez de fazer observações durante um eclipse solar, as fez durante um eclipse lunar, determinando o intervalo de tempo entre o instante do início do eclipse total A e   o final do eclipse total B. Supondo, corretamente, que os eclipses lunares ocorriam quando a Lua ficava imersa no cone de sombra da Terra e, usando apenas trigonometria elementar e regra de três simples, Hiparco determinou com grande precisão a distância da Lua.

 

 

O ângulo a é o ângulo dentro do qual um suposto observador situado no Sol veria o raio da Terra. Ele é muito menor do  que todos os outros ângulos indicados. Podemos notar que os ângulos a, j e q são internos a um triângulo, somando, portanto, 180º. Os ângulos d, j e w, por sua vez, perfazem um ângulo raso, também de 180º. Então, pode-se escrever:



Assim, desprezando o valor de a, temos que o ângulo q, — que é aquele dentro do qual um suposto observador situado na órbita lunar veria o raio terrestre Rt —, é a soma do semi-diâmetro angular do sol, d, com o semi-diâmetro angular do cone de sombra da terra, à distância da Lua, w. O diâmetro angular do Sol é facilmente conhecido, por observação indireta, e é de aproximadamente 0,5º. O semi-diâmetro angular, d, é portanto, cerca de 0,25º. O semi-diâmetro angular do cone de sombra da terra, à distância da Lua, w, pôde ser obtido por Hiparco a partir da medida do intervalo de tempo DT_AB entre os instantes correspondentes às posições A e B durante o Eclipse.
Durante esse intervalo a Lua percorre um ângulo 2w no céu.



Como o tempo entre duas lunações é aproximadamente 29 dias (27, se levarmos em conta a revolução da Terra em torno do Sol), medindo o intervalo DT_AB obtemos, por regra de 3 simples, o valor de w e, em conseqüência, o valor de q.



Atentando para o triângulo retângulo destacado na figura abaixo, Hiparco pôde calcular a distância Dl da Terra Lua usando uma relação elementar para o seno de q.

  

                         

Em vez de trigonometria, Hiparco poderia ter usado simplesmente semelhança de triângulos a partir de um desenho em escala. Usando apenas esses métodos rudimentares, com observações a olho nu e trigonometria plana, Hiparco calculou a distância da Lua à Terra como sendo cerca de 62 a 74 raios terrestres. Atualmente, sabemos que a distância da Lua à Terra varia entre cerca de 57 e 64 raios terrestres. Conhecendo a distância da Lua, por um ou outro método, Hiparco pode calcular o seu tamanho linear a partir de seu tamanho angular no céu e do conhecimento do raio Rt da Terra.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

http://www.asterdomus.com.br/Artigo_os_eclipses.htm

http://homes.dcc.ufba.br/~frieda/mat061/projetomeiodia/hiparco.html

Tales e a altura da pirâmide

Seria possivel aplicar o conceito de razão e proporção em geometria?

A idéia de proporção e sua aplicação em Geometria são bastante antigas.

Um dos trabalhos mais importantes nesse sentido foi desenvolvido por Tales (625 - 547 a.C.), um rico comerciante, filósofo, matemático, astrônomo e geômetra é considerado um dos sete sábios da antiguidade. Viveu na velha colônia grega de Mileto, atualmente Turquia. Segundo o historiador grego Diórgenes Laércio, Tales morreu aos 78 anos durante a 58ª Olimpíada. Sabe-se pouco sobre a vidade de Tales. Tudo indica que era uma pessoa muito intelingente e curiosa que elegeu o saber como seu principal objetivo de vida.

Por ser comerciante, Tales teve a oportunidade de entrar em contato com vários povos. Conta-se que, numa de suas viagens ao Egito, Tales foi desafiado a medir a altura de grande pirâmide de Queóps. Construída por volta de 2500 a.C., é considerada uma das grandes maravilhas do mundo antigo; sua base é um quadrado cujos lados medem cerca de 230  metros e sua altura é de 150 metros, aproximadamente.                

Partindo do princípio de que existe uma razão entre a altura de um objeto e o comprimento da   sombra que esse objeto projeta no chão, e que essa razão é a mesma para diferentes objetos no mesmo instante, Tales pôde calcular a altura da pirâmide.

Há duas versões para este fato. Hicrônimos, discípulo de Aristóteles, diz que Tales mediu o comprimento da sombra da pirâmide no momento em que nossas sombras são iguais a nossa altura, assim medindo a altura da pirâmide. A de Plutarco diz que fincando uma vara vertical no extremo da sombra projetada pela pirâmide, construímos à sombra projetada da vara, formando no solo dois triângulos semelhantes. 

Notamos que neste relato é necessário o conhecimento de teoremas sobre triângulos semelhantes. 

Tales imaginou os triângulos VHB e ABC, que são semelhantes, por terem dois ângulos respectivamente congruentes. Como Tales sabia que os lados desses triângulos eram proporcionais, pôde determinar a laltura VH da pirâmide através da proporção VH está para AB, assim como HB está para BC.


De uma forma simplificada:

Como p (altura da estaca), d (sombra da estaca, b (lado da base da pirâmide) e s (sombra da pirâmide) podem ser medidas diretamente, o valor de h (altura da pirâmide) fica determinado.

Este fato levou Tales a ser muito prestigiado pelo faraó Amásis, que governava o Egito nessa época.



Referências Bibliográfica:

http://www.colegiocatanduvas.com.br/desgeo/teotales/index.htm

http://www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/calpiramide.html

http://www.slideshare.net/porqueira/teorema-de-tales-autor-antonio-carlos-carneiro-barroso-em-23062009

Teorema de Pitágoras

Na Grécia, por volta do século VI a.C., Pitágoras (580-500 a.C.) fundou uma escola mística secreta chamada Escola Pitagórica.

Os membros desta sociedade, os pitagóricos, tinham uma filosofia de vida em que os números apresentavam  importância fundamental: a harmonia do universo, o movimento dos planetas, a vida animal e vegetal, o som, a luz, tudo isso só podia ser explicado através dos números.
Conta a lenda que Pitágoras, ao olhar para o chão onde apareciam desenhos verificou, por composição e decomposição de figuras, uma propriedade de todos os triângulos retângulos:
A área de um quadrado construído sobre a hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto) de um triângulo retângulo é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos (os outros dois lados).
Desta relação surgiu o Teorema de Pitágoras tal como o conhecemos hoje:
Num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.


Hipotenusa: c
Catetos: a e b

c²= a² + b²












Porém, a descoberta do famoso teorema levou os pitagóricos a uma nova descoberta que iria abalar os seus princípios a respeito dos números.
Eles conheciam os números inteiros e as frações; estas não eram consideradas números, mas representavam comparações entre grandezas de mesma espécie.

Observaram que, num quadrado, a razão entre a medida "D" da diagonal e a medida "L" do lado não  poderia ser escrita como uma fração.
Para eles, essa situação contrariava a idéia de que tudo poderia ser expresso por uma relação de números. Assim, juraram nunca revelar a estranhos a existência desse fato inexprimível, o qual eles chamaram de alogon.


Porem, menos de um século depois, o segredo dos pitagóricos tornou-se conhecido de todos os pensadores, e o advento dos números irracionais marca o declínio da Escola Pitagórica como sistema de filosofia natural.



PRIMEIRA DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA DE PITÁGORAS


Atualmente, são conhecidas várias demonstrações do Teorema de Pitágoras.
Aquela que se pensa ter sido a demonstração original (ou uma delas) é a seguinte:

Temos dois quadrados iguais de lado a+b.

   Todos os triângulos retângulos marcados em ambos os quadrados são iguais (a e b são os seus catetos e c a hipotenusa).
   O primeiro quadrado é formado por quatro triângulos e por um quadrado de lado c, pelo que a sua área é

c² + 4(ab/2) = c² + 2ab.

   O segundo quadrado é formado por dois quadrados de lados a e b e por quatro triângulos. Logo, a sua área é dada por

a² + b² + 4(ab/2) = a² + b² + 2ab.

   Igualando ambas as expressões, temos

c² + 2ab = a² + b² + 2ab

ou seja, a² + b² = c².

Para ver outras demonstrações do teorema de Pitágoras:


http://criar.no.sapo.pt/provas.htm
http://www.arrakis.es/~mcj/teorema.htm



OS EGÍPCIOS

De acordo com os dados históricos, a Geometria dos antigos egípcios estava baseada na pirâmide de base quadrada.

Como os egípcios faziam para obter ângulos retos?   

Usando uma corda com 12 nós, os egípcios construíam um triângulo retângulo particular para obter “cantos” em ângulos retos.  

Esse triângulo particular tem lados medindo 3 unidades, 4 unidades e 5 unidades de comprimento. Nesse triângulo, o ângulo formado pelos dois lados menores é um ângulo reto.

APLICAÇÕES


O teorema de Pitágoras é conhecido e utilizado desde os tempos antigos em várias atividades. Uma dela é a construção de vela para saveiros. Essa aplicação está explicada no trecho reproduzido do artigo ”Saveiro à risca“, da revista superinteressante, ano 12, nº4, abril/1998.



REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

http://www.colegiocatanduvas.com.br/desgeo/teopitago/index.htm

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2001/icm23/teoremapitagoras.htm

Sobre a Matemática...

A palavra "Matemática" tem origem na palavra grega "máthema" que significa Ciência, conhecimento ou aprendizagem, derivando daí "mathematikós", que significa o prazer de aprender.

É comum definir a Matemática como o estudo de tópicos como quantidades, formas, espaço e mudança, através do método dedutivo, no qual se pressupõe um conjunto de axiomas e regras de inferência como forma de obter propriedades das entidades em estudo.

Sendo uma linguagem universal, a Matemática oferece-nos um conjunto singular de ferramentas poderosas para compreender e mudar o mundo. Estas ferramentas incluem o raciocínio lógico, técnicas de resolução de problemas, e a capacidade de pensar em termos abstratos.

Nas sociedades antigas, a Matemática surgiu associada a atividades práticas como a contabilidade, a medição de terrenos ou a previsão de eventos astronômicos. Ao longo da História, diferentes culturas e personalidades contribuíram para o desenvolvimento da Matemática e das suas aplicações. Após o Renascimento, a Matemática tornou-se a linguagem de referência de qualquer Ciência.

Hoje, o conhecimento assim adquirido transcende as barreiras culturais e a sua importância em muitas profissões e atividades é universalmente aceita. Em áreas como a Ciência e a Tecnologia, a Medicina, a Economia, o Ambiente e o Desenvolvimento, e a Administração Pública, o progresso e a inovação dependem freqüentemente de novas descobertas matemáticas.

A Comunidade Matemática, formada por Professores e Investigadores é hoje maior que em qualquer outro momento da História e o seu impacto na Sociedade é cada vez maior, através de atividades Científicas organizadas à escala mundial, de inúmeras publicações em revistas especializadas, e de atividades de divulgação. Testemunho disto são os importantes prêmios atribuídos à investigação matemática, como a medalha Fields e o prêmio Abel.

 http://www.e-escola.pt/canal.asp?nome=matematica (Com Adaptações)

Apresentação

Neste portal, aproveitando a facilidade de utilização que a internet proporciona, desejamos focar temas de caráter matemático que respondam ao interesse de alunos, professores e da comunidade em geral, de modo a que ele se torne um instrumento de consulta e referência.

O blog foi criado para satisfazer um dos requisitos necessários da disciplina História da Matemática, ministrada pelo professor Gilberto Muniz a turma do 5ª semestre de Licenciatura em Matemática da Faculdade de Ciências Educacionais (FACE).


Mateus Batista Porto